Fakultät (Mathematik)

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Die Fakultät (manchmal, besonders in Österreich, auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen kleiner oder gleich dieser Zahl zuordnet. Sie wird durch ein dem Argument nachgestelltes Ausrufezeichen („!“) abgekürzt. Diese Notation wurde erstmals 1808 von dem elsässischen Mathematiker Christian Kramp (1760–1826), der um 1798 auch die Bezeichnung „faculté“ dafür einführte, verwendet.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
- 1.1 Beispiele
2 Bedeutung für die Kombinatorik
- 2.1 Beispiel
3 Verwandte Begriffe
4 Numerische Berechnung
5 Weblinks

Definition

Für alle natürlichen Zahlen $n$ ist

$n! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot\ldots\cdot n$

als das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis $n$ definiert. Außerdem gilt analog zum leeren Produkt

0! = 1.

Fakultäten für negative oder nicht ganze Zahlen sind nicht definiert. Jedoch erhält man mit der Gammafunktion $Γ$ über die Formel

$n! = \Gamma(n+1)\,$

einen auf alle reellen Zahlen und sogar alle komplexen Zahlen außer den negativen ganzen Zahlen erweiterten Definitionsbereich.

Die Fakultät lässt sich auch rekursiv definieren durch

0! = 1

und

$n! = (n-1)!\cdot n$

für $n > 0$ .

Beispiele

$\begin{align} 1! &= 1\\ 2! &= 1 \cdot 2 = 2\\ 3! &= 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6\\ 4! &= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\\ 5! &= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120 \end{align}$

Bedeutung für die Kombinatorik

In der abzählenden Kombinatorik spielen Fakultäten eine wichtige Rolle, weil $n!$ die Anzahl der Möglichkeiten ist, $n$ unterscheidbare Gegenstände in einer Reihe anzuordnen. Falls $X$ eine $n$ -elementige Menge ist, so ist $n!$ auch die Anzahl der bijektiven Abbildungen $X\to X$ (die Anzahl der Permutationen).

Beispiel

Bei einem Autorennen starten 6 Fahrer. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Reihenfolge beim Zieleinlauf dieser Fahrer, wenn alle Fahrer das Ziel erreichen?

Lösung: Für den ersten Platz kommen alle 6 Fahrer in Frage. Ist der erste Fahrer angekommen, können nur noch fünf Fahrer um den zweiten Platz konkurrieren. Ist auch der zweite Platz vergeben, kommen für den 3. Platz nur noch 4 Fahrer in Frage, usw. Es gibt also 6! = 720 verschiedene Ranglisten für den Zieleinlauf.

Numerische Berechnung

Der numerische Wert für n! kann gut rekursiv berechnet werden, falls n nicht zu groß ist.

Die größte Fakultät, die von den meisten handelsüblichen Taschenrechnern berechnet werden kann, ist 69! ≈ 1,7×10⁹⁸, da 70! ≈ 1,2×10¹⁰⁰ außerhalb des üblicherweise verfügbaren Zahlenbereiches liegt.

Wenn n groß ist, bekommt man eine gute Näherung für n! mit Hilfe der Stirling-Formel:

$n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{\mathrm e}\right)^n$