Funktion (Mathematik)

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In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Eingangsgröße, Funktionsargument, unabhängige Variable, x-Wert) ein Element der anderen Menge (Ausgangsgröße, Funktionswert, abhängige Variable, y-Wert) zuordnet. Das Konzept der Funktion oder Abbildung nimmt in der modernen Mathematik eine zentrale Stellung ein; es enthält als Spezialfälle unter anderem parametrische Kurven, Skalar- und Vektorfelder, Koordinatentransformationen, Operatoren und vieles mehr.

Inhaltsverzeichnis

1 Begriffsgeschichte
2 Definitionen und Konventionen
3 Indizierung und Auswahlfunktion
4 Darstellung von Funktionen
5 Verknüpfung von Funktionen
6 Wichtige Begriffe
7 Eigenschaften von Funktionen
- 7.1 Allgemeine Eigenschaften
- 7.2 Eigenschaften, die in der reellen und komplexen Analysis von Interesse sind
8 Funktionen, die Strukturen beachten
9 Strukturen erzeugende Abbildungen
10 Spezielle Funktionen und Funktionstypen
11 Verallgemeinerungen
- 11.1 Partielle Funktionen
- 11.2 Funktionen mit Werten in einer echten Klasse
12 Siehe auch
13 Weblinks
14 Einzelnachweise

Begriffsgeschichte

Das Nebeneinander der Begriffe „Funktion“ und „Abbildung“ ist nur historisch zu verstehen.

Der Begriff „Funktion“, 1694 von Leibniz eingeführt, wurde zunächst als formelmäßige Rechenvorschrift aufgefasst, zum Beispiel y=x² oder $f (x) = sin x$ . In der Schulmathematik wurde dieser naive Funktionsbegriff bis weit in die zweite Hälfte des 20. Jahrhunderts beibehalten. Bisweilen wurden auch mehrdeutige Funktionen, zum Beispiel eine im Vorzeichen unbestimmte Quadratwurzelfunktion, zugelassen.

Erst als die Analysis im 19. Jahrhundert mit einem exakten Grenzwertbegriff auf eine neue Grundlage gestellt wurde, entdeckten Weierstraß, Dedekind und andere, dass Grenzwerte unendlicher Folgen „klassischer“ Funktionen sprunghaft sein können und sich nicht immer durch „geschlossene“ Formeln (mit endlich vielen Rechenoperationen) ausdrücken lassen. Das erzwang eine schrittweise Ausweitung des Funktionsbegriffs.

Davon unabhängig wurde im 19. Jahrhundert die Gruppentheorie begründet, mit der man systematisch untersuchen kann, wie sich algebraische Gleichungen unter der Wirkung aufeinanderfolgender Transformationen verändern. Bei der Anwendung dieser Theorie auf geometrische Probleme wurden gleichbedeutend mit „Transformation“ auch die Begriffe „Bewegung“ und „Abbildung“ gebraucht.

Als Anfang des 20. Jahrhunderts die Grundlagen der Mathematik einheitlich in der Sprache der Mengenlehre formuliert wurden, stellten sich die Begriffe „Funktion“ und „Abbildung“ dann als deckungsgleich heraus. Im Sprachgebrauch wirken die unterschiedlichen Traditionen jedoch fort. In der Analysis spricht man heute häufig noch von Funktionen, während man in der Algebra und in der Geometrie von Abbildungen spricht. Einige Mathematiker unterscheiden auch heute noch streng zwischen einer Abbildung und einer Funktion. Diese verstehen unter einer Funktion eine Abbildung in den reellen oder komplexen Zahlenkörper.

Weitere Synonyme in spezielleren Zusammenhängen sind unter anderem Operation in der Analysis, Verknüpfung und Morphismus in der Algebra.

Definitionen und Konventionen

Grundidee

Eine Funktion $f$ ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge $D$ genau ein Element y einer Zielmenge $Z$ zu.

Schreibweise:

$f\colon D\to Z;\ x\mapsto y$

Anmerkungen:

Die Umkehrung gilt nicht: Ein Element der Zielmenge muss (wenn überhaupt) nicht nur einem Element des Definitionsbereiches zugeordnet worden sein.
Oft ist an Stelle der Definitionsmenge zunächst eine Quellmenge Q gegeben. Wenn f als Rechenvorschrift gegeben ist, erhält man die Definitionsmenge $D f$ , indem man von Q diejenigen Elemente ausschließt, für die f nicht definiert ist.

Mengentheoretische Definition

Mengentheoretisch ist eine Funktion eine linkstotale und rechtseindeutige Relation, das heißt:

Eine Funktion von der Menge

D

in die Menge

Z

ist eine Menge

f

, die die folgenden Eigenschaften hat:

$f$ ist eine Teilmenge von $D\times Z$ (kartesisches Produkt), also eine Menge von Paaren $(x, y),$ wobei $x$ in $D$ und $y$ in $Z$ liegt,
zu jedem Element $x$ von $D$ gibt es genau ein Element $y$ von $Z$ (geschrieben $y = f (x)$ ), so dass das Paar $(x, y)$ Element von $f$ ist.

Oft möchte man aber auch die Zielmenge explizit zu einem Teil der Funktion machen, zum Beispiel um Aussagen zur Surjektivität anstellen zu können. Letztlich werden sowohl Quell- als auch Zielmenge in die Definition aufgenommen und man erklärt:

Ein Tripel

f = (A, B, R)

, bestehend aus zwei Mengen

A

und

B

sowie einer Relation $R\subseteq A \times B$ zwischen

A

und

B

, heißt Funktion von

A

nach

B

, wenn gilt: zu jedem Element

a

von

A

gibt es genau ein Element

b

von

B

(geschrieben

b = f (a)),

so dass das Paar

(a, b)

bzw.

(a, f (a))

Element von

R

ist.

R wird auch der Graph der Funktion genannt. Eine Funktion ist durch ihren Graphen und ihre Zielmenge eindeutig bestimmt. Stimmen zwei Funktionen in ihren Graphen überein, so sagt man auch, sie seien im Wesentlichen gleich.

Verschiedene Weisen, eine Funktion zu spezifizieren

Eine Zuordnung kann unter anderem in einer der folgenden Formen beschrieben werden:

Funktionsterm: $x 2$
Funktionsgleichung: $f (x) = x 2$
Zuordnungsvorschrift: $x\mapsto x^2$
Wertetabelle (für endliche, aber auch abzählbar unendliche Definitionsbereiche)

$x$	1	2	3	4	5	6	7	…
$y$	1	4	9	16	25	36	49	…

Als Relation insbesondere auch als aufgezählt oder beschrieben dargestellte Teilmenge: $f = \{(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),\ldots\}$
Als Komposition von anderen Funktionen oder als Inverse einer anderen Funktion

Symbolische Schreibweisen

Für Funktionen gibt es etliche symbolische Schreibweisen, die jeweils einige spezielle Eigenschaften der Funktion ausdrücken. Im folgenden werden einige wichtige genannt.

Symbol	Erklärung
$f\colon A\to B$	Funktion von $A$ nach $B$
$f\colon x\mapsto y$	Funktion, die $x$ auf $y$ abbildet; statt $y$ kann auch eine Formel o. Ä. stehen
$f\subseteq A\times B$	Funktion von $A$ nach $B$ (mengentheoretische Schreibweise)
$(x,y) \in f$	Funktion, die $x$ auf $y$ abbildet; statt $y$ kann auch eine Formel o. Ä. stehen (mengentheoretische Schreibweise)
$f\colon A\to B, x\mapsto f(x):=y$	Ausführlichste Notation, die alle beteiligten Mengen und die elementweise Zuordnung mit Beschreibung der Funktionssymbolik (statt $f (x)$ stehen oft Dinge wie $x^{{-}1},\; \overline{x},\; x\cdot y$ u. Ä.) und der Formel o. Ä. (an der Stelle von $y$ ) zur Berechnung des Bildes angibt
$f\colon A\rightarrowtail B$	injektive Funktion von $A$ nach $B$
$f\colon A\twoheadrightarrow B$	surjektive Funktion von $A$ nach $B$
$f\colon A\operatorname{\twoheadrightarrow\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\; \rightarrowtail} B$ $f\colon A\operatorname\rightleftarrows B$ $f\colon A\operatorname\leftrightarrow B$	bijektive Funktion von $A$ nach $B$
$f\colon A\hookrightarrow B$	Inklusionsabbildung, natürliche Inklusion, natürliche Einbettung von $A$ in $B$ (A ist Untermenge von B, und die Funktion bildet gleiche Elemente aufeinander ab.)
$f\colon A=B\,\!$	Identität, identische Abbildung von $A$ nach $B$ (A = B, und die Funktion bildet gleiche Elemente aufeinander ab.)
$f\colon A\cong B$ $f\colon A\stackrel{\mathrm{\cong}}\rightarrow B$	Isomorphismus
$f\colon A\rightsquigarrow B$	partielle Funktion (s. o.) von $A$ nach $B$
$f\colon A\multimap B$	mehrdeutige Funktion (s. o.) von $A$ nach $B$

Die Symbole können auch, wo sinnvoll, miteinander kombiniert werden.

Schreib- und Sprechweisen

Für die Zuordnung eines Funktionswertes y zu einem Argument x gibt es eine Reihe verschiedener Sprech- bzw. ausführlicher Schreibweisen, die alle mehr oder weniger gleichwertig sind und vor allem in Abhängigkeit von dem, was vordergründig ausgedrückt werden soll, vom jeweiligen Kontext, der benutzten Symbolik und auch vom Geschmack des Sprechers (Schreibers) gewählt werden. Hier einige Beispiele:

„x wird abgebildet auf f von x“

„f von x wird x zugeordnet“ (vornehmlich, wenn das $\mapsto$ -Symbol in der Symbolik steht)

„y gleich f von x“ (vornehmlich, wenn ein Gleichheitszeichen in der Symbolik steht)

„y ist das Bild von x unter der Abbildung f“

Davon zu unterscheiden ist die Sprech- und Schreibweise: „y ist eine Funktion von x“, die vor allem in der Physik und in der Physik sehr nahe stehenden Bereichen der Mathematik auftaucht. Sie ist die ältere und ursprüngliche Sprech- und Schreibweise und beschreibt die Abhängigkeit einer Variablen $y$ von einer anderen Variablen $x$ , im Gegensatz dazu, dass mit Hilfe der Variablen $x$ und $y$ (stellvertretend) die Zuordnung bestimmter Elemente von Mengen beschrieben wird. Die „physikalische“ Sprechweise stammt von dem Vorgehen, erst zwei veränderlichen Größen (der physikalischen Realität) Symbole, nämlich die Variablen $x$ und $y$ , zuzuordnen, und danach deren Abhängigkeit festzustellen. Steht z. B. $y$ für die Raumtemperatur und $x$ für die Zeit, so wird man feststellen können, dass sich die Raumtemperatur in Abhängigkeit der Zeit ändert und somit „die Raumtemperatur eine Funktion der Zeit ist“ bzw. stellvertretend „y eine Funktion von x ist.“

Statt Definitionsmenge $A$ wird auch Definitionsbereich, Domain, Urbildmenge oder schlicht Urbild gesagt. Insbesondere im Falle partieller Funktionen wird zusätzlich von der Quellmenge gesprochen, diese heißt auch Quelle oder Source. Die Elemente von $A$ heißen Funktionsargumente oder Urbilder, salopp auch $x$ -Werte. Die Zielmenge B wird auch Wertemenge, Wertebereich, Codomain oder Destination genannt, die Elemente von $B$ heißen Zielwerte oder Zielelemente, salopp auch $y$ -Werte. Funktionswerte, Bildelemente oder schlicht Bilder heißen dagegen nur diejenigen Elemente von $B,$ die tatsächlich als Bild eines Arguments auftreten, die Menge der Funktionswerte heißt Bildmenge, Bild oder Image von $f .$

Wertemenge/-bereich wird manchmal etwas uneinheitlich auch als Synonym zu Bildmenge benutzt.

Für die verschiedenen Mengen sind diverse Operatoren-Schreibweisen in Gebrauch, also Kurzschreibweisen, die einer Funktion $f$ ihre verschiedenen Mengen zuordnen. Hier die gängigsten Beispiele:

Definitionsbereich	$\operatorname D_f,\; \operatorname{Def}_f,\; \operatorname D(f),\; \operatorname{Def}(f),\; \operatorname{Dom}(f),\; \operatorname{Ur}(f)$
Quellmenge	$\operatorname Q_f,\; \operatorname{Quelle}_f,\; \operatorname Q(f),\; \operatorname{Quelle}(f),\; \operatorname{Src}(f)$
Bildmenge	$f(A),\; \operatorname B_f,\; \operatorname{Bild}_f,\; \operatorname B(f),\; \operatorname{Bild}(f),\; \operatorname{Im}_f,\; \operatorname I_f,\; \operatorname{Im}(f),\; \operatorname I(f),\; \operatorname R(f)$
Wertebereich	$\operatorname W_f,\; \operatorname{Werte}_f,\; \operatorname W(f),\; \operatorname{Werte}(f),\; \operatorname{Cod}_f,\; \operatorname{Dst}_f,\; \operatorname{Cod}(f),\; \operatorname{Dst}(f)$

Insbesondere wird für jede Untermenge $C\subset \operatorname{Bild}(f)$ von $\operatorname{Bild}(f)$ mit $f - 1 (C)$ das Urbild von $C$ bezüglich der Funktion $f$ bezeichnet. Es gilt dann $\operatorname{Def}_f = f^{{-}1}(\operatorname{Bild}(f)).$ Dieses $f - 1 (C)$ ist nicht zu verwechseln mit dem Bild der Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion, es ist nur eine Schreibweise für das Urbild; im Falle, dass $f$ bijektiv ist, stimmen aber das so beschriebene Urbild von $C$ bezüglich $f$ und das Bild von $C$ unter der Umkehrfunktion $f - 1$ überein.

Indizierung und Auswahlfunktion

Sind $X_1 , \ldots , X_n$ beliebige Mengen, so betrachten wir das n-Tupel

$x = (x_1 , \ldots , x_n) \ \mathrm{mit}\ x_1 \in X_1, \ldots , x_n \in X_n$ .

So kann man $x$ als Abbildung

$x: \{1 , \ldots , n\} \rightarrow X_1 \cup \ldots \cup X_n \ \mathrm{mit}\ x(i) \in X(i)$

auffassen. Man nennt $x$ Auswahlfunktion. Zur Vereinfachung schreibt man $x i : = x (i)$ .

Für n-Tupel sind andere Definition oftmals geläufiger, jedoch soll diese Definition helfen die Auswahlfunktion auf Familien und Matrizen zu erweitern. Ist nun allgemeiner $I$ eine Indexmenge, so nennt man eine Abbildung

$\phi : I \rightarrow X\ \mathrm{mit}\ i\mapsto x_i = \phi(i)$ ,

eine Familie von Elementen in $X$ . Zur Abkürzung bezeichnet man eine Familie $\phi : I \rightarrow X$ oft mit $(x_i)_{i \in I}$ . Verwendet man als Indexmenge die natürlichen Zahlen so nennt man $(x_i)_{i \in \mathbb{N}}$ eine Folge. Dies ist ein grundlegender Begriff der Analysis. Falls die Indexmenge $I$ überabzählbar ist, so ist die Existenz der Auswahlfunktion $φ$ nicht selbstverständlich. Zur Sicherstellung dieser Existenz muss das Auswahlaxiom herangezogen werden.

Auch bei Matrizen gibt es eine Auswahlfunktion. Dies wollen wir anhand eines Beispiels erläutern. Sei die Matrix

$\begin{pmatrix} 4 & 5\\ 6 & 4\\ \end{pmatrix}$

gegeben. Nun ist die Auswahlfunktion $φ$ gegeben durch

$\phi : \{1,2\} \times \{1,2\} \rightarrow \R\ \mathrm{mit}\ (i,j) \mapsto x_{ij} = \phi(i,j)$ .

Es wird also jeder Position in der Tabelle ein Wert zugeordnet. Das Zahlenpaar repräsentiert Zeile und Spalte des zugeordneten Wertes. Hier zum Beispiel für Wert 6 in Zeile 2, Spalte 1:

$(2,1)\mapsto 6$

Das ist das Gleiche, als würde man dieses Zahlenpaar als Index der jeweiligen Position schreiben.

Darstellung von Funktionen

Eine Funktion $f:U\to\R,\ U\subseteq\R$ kann man visualisieren, indem man ihren Graphen in ein (zweidimensionales) Koordinatensystem zeichnet. Der Funktionsgraph einer Funktion $f$ kann mathematisch definiert werden als die Menge aller Zahlenpaare $(x | y)$ , für die $y = f (x)$ . Der Graph einer stetigen Funktion auf einem zusammenhängenden Intervall bildet eine zusammenhängende Kurve (genauer: die Menge der Punkte der Kurve, aufgefasst als Unterraum des topologischen Raumes $\R^2$ ist zusammenhängend).

Analog kann man Funktionen $f:U\to\R^2,\ U\subseteq\R$ und $g:U\to\R,\ U\subseteq\R^2$ visualisieren, indem man sie in ein dreidimensionales Koordinatensystem zeichnet. Ist f stetig, so ergibt sich eine Kurve, die sich durch das Koordinatensystem „schlängelt“. Ist g stetig, so ergibt sich eine Fläche als Bild, typischerweise in Form einer „Gebirgslandschaft“.

Computerprogramme zur Darstellung von Funktionen heißen Funktionenplotter. Funktionsprogramme gehören auch zum Funktionsumfang von Computeralgebrasystemen (CAS), matrizenfähigen Programmierumgebungen wie MATLAB, Scilab, GNU Octave und anderen Systemen. Die wesentlichen Fähigkeiten eines Funktionenplotters sind auch auf einem graphikfähigen Taschenrechner verfügbar.

Verknüpfung von Funktionen

Mit $\mathrm{Abb}(X,\R)$ wird die Menge aller Abbildungen von $X$ in die reellen Zahlen $\R$ bezeichnet. In mathematischer Kürze heißt dies

$\mathrm{Abb}(X,\R) := \{ f : X \rightarrow \R\}$ .

Diese Menge wird meist als reeller Vektorraum aufgefasst. Diese Vektorraumstruktur erhällt man durch punktweise Addition von Abbildungen und punktweise Multiplikation einer reellen Zahl mit einer Abbildung. Seien $f,g \in \mathrm{Abb}(X,\R)$ zwei Abbildungen. Die Addition $f+g \in \mathrm{Abb}(X,\R)$ wird erklärt durch $(f + g)(x): = f (x) + g (x)$ . Analog erklärt man für $\lambda \in \R$ die Multiplikation $\lambda f \in \mathrm{Abb}(X,\R)$ durch $\lambda \cdot f(x)$ .

Es gibt noch eine weitere Verknüpfung zwischen allgemeinen Abbildungen, welche als Komposition bezeichnet wird. Seien $X, Y, Z$ beliebige Mengen und $f : X \rightarrow Y$ sowie $g : Y \rightarrow Z$ Abbildungen, so heißt die Abbbildung

$g \circ f : X \rightarrow Z,\ x \mapsto g(f(x)) =: (g \circ f)(x)$

die Komposition oder Hintereinanderschaltung von f und g. Man sagt $g$ komponiert mit $f$ für $g \circ f$ . Es ist dabei zu beachten, dass die zuerst angewandte Abbildung rechts steht, im Gegensatz zum Diagramm

$X\stackrel{f}{\rightarrow} Y \stackrel{g}{\rightarrow} Z$ .

Die Komposition ist eine assoziative Verknüpfung. Man kann also auf Klammern verzichten, wenn man drei oder mehr Abbildungen miteinander komponiert.

Wichtige Begriffe

Das Bild eines Elements $x$ der Definitionsmenge ist einfach $f (x)$ .
Das Bild einer Funktion ist die Menge aller Elemente, die in $B$ getroffen werden, also $f(A)=\{f(x):x\in A\}$ . Das Bild ist folglich eine Teilmenge von $B$ .
Das Urbild eines Elements $y$ der Wertemenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild $y$ ist. Man schreibt $f^{-1}(y)=\{x\in A:f(x)=y\}$ . Man sagt auch Faser von $y$ .
Das Urbild einer Teilmenge $M$ der Zielmenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild Element dieser Teilmenge ist. $f^{-1}(M)=\{x\in A:f(x)\in M\}$ .
Die Verkettung oder Komposition ist die Verknüpfung von Funktionen durch Hintereinanderausführung

$(f\circ g)(x)=f(g(x))$ .

Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion weist jedem Element der Wertemenge das Urbildelement zu. (Bei bijektiven Funktionen hat das Urbild jedes Elements genau ein Element.)
Ein Fixpunkt ist ein Element $x$ des Definitionsbereichs von $f$ , für das $f (x) = x$ gilt.

Eigenschaften von Funktionen

Allgemeine Eigenschaften

Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs höchstens ein Urbild hat. D. h. aus $f (x 1) = y = f (x 2)$ folgt $x 1 = x 2 .$
Sie ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens ein Urbild hat. D. h. zu beliebigem $y$ gibt es ein $x$ , so dass $f (x) = y .$
Sie ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist, also wenn jedes Element der Zielmenge genau ein Urbild hat.
Sie ist idempotent, wenn $f(f(x))=f(x)\,$ für alle Elemente $x$ des Definitionsbereichs gilt.
Sie ist eine Involution, wenn $f(f(x)) = x\,$ für alle Elemente $x$ des Definitionsbereichs gilt.
Eine zweistellige Funktion $f$ heißt kommutativ, wenn $f(x,y)=f(y,x)\,$ für alle $x$ und $y$ aus der Definitionsmenge gilt.
Eine Funktion $f$ mit Definitionsbereich $D$ heißt gerade Funktion, wenn für alle $x \in D$ auch $-x \in D$ ist und die Achsensymmetrie $f(x) = f(-x)\,$ gilt.
Eine Funktion $f$ mit Definitionsbereich $D$ heißt ungerade Funktion, wenn für alle $x \in D$ auch $-x \in D$ ist und die Punktsymmetrie $f(-x) = -f(x)\,$ gilt.

Eigenschaften, die in der reellen und komplexen Analysis von Interesse sind

Funktionen, die Strukturen beachten

Funktionen, die auf Zusammenhänge wie z. B. Operationen (Addition, etc.) in der Definitions- und der Zielmenge „Rücksicht nehmen“, werden Morphismen genannt. Siehe Homomorphismus, Kategorientheorie.

Strukturen erzeugende Abbildungen

Ein fundamentales Konzept in der Mathematik stellen Strukturen dar, die dadurch entstehen, dass Mengen in Verbindung mit dazu gehörigen Abbildungen gesehen werden. Derartige Strukturen bilden die Grundlage praktisch aller mathematischen Disziplinen, sobald sie über elementare Mengenlehre, kombinatorische Probleme oder grundlegende mathematisch-philosophische Fragestellungen hinausgehen.

Algebraische Strukturen

Mengen können durch sogenannte Verknüpfungen strukturiert werden. Der wichtigste Spezialfall ist die Zweistellige Verknüpfung, dabei handelt es sich um eine Abbildung der Form $f: M \times M \rightarrow M$ .

Beispiele für (zweistellige) Verknüpfungen sind Rechenoperationen, wie die Addition oder Multiplikation auf Zahlenmengen. Dementsprechend wird das Bild eines Paares $(x, y)$ unter einer Verknüpfung $\otimes$ üblicherweise in der Form $x\otimes y$ geschrieben.

Die zweite, aus algebraischer Sicht, wichtige Art der Abbildung ist die sogenannte skalare Multiplikation. Diese erzeugt zwar im eigentlichen Sinne keine Struktur auf einer Menge, setzt jedoch zwei, mit Verknüpfungen versehene, Mengen in Beziehung zueinander.

Ein skalare Multiplikation ist eine Abbildung der Form $f: R \times M \rightarrow M$ , wobei $R$ ein Ring und $M$ eine abelsche Gruppe ist (die in dieser Situation als Modul bezeichnet wird).

Auf eine exakte Definition der skalaren Multiplikation wird hier verzichtet, da die Begriffe Ring und Gruppe hier nicht erläutert werden sollen. Wichtigstes Beispiel für Moduln sind Vektorräume.

Topologische Strukturen

können mittels sogenannter Topologien auf Mengen definiert werden. Dabei ist eine Topologie eine Abbildung

$\mathcal{T}: M \rightarrow \mathcal{P}(\mathcal{P}(M)\setminus\{\emptyset\})\setminus\{\emptyset\}$ , mit

$x \in U, \forall \ U \in \mathcal{T}(x)$ ,
aus $U \in \mathcal{T}(x)$ und $U \subset V$ folgt: $V \in \mathcal{T}(x)$ ,
aus $U,V \in \mathcal{T}(x)$ folgt: $(U \cap V) \in \mathcal{T}(x)$ ,
ist $U \in \mathcal{T}(x)$ , so existiert ein $V \in \mathcal{T}(x)$ , so dass $U \in \mathcal{T}(y), \forall y \in V$ .

Die Mengen $U \in \mathcal{T}(x)$ werden als Umgebungen von $x$ bezeichnet. Eine Topologie ordnet also jedem Element einer Menge die Menge seiner Umgebungen zu.

(Weit häufiger wird eine Topologie in äquivalenter Weise allerdings als ein Mengensystem sogenannter offener Mengen definiert.)

In der Analysis werden üblicherweise topologische Räume betrachtet, deren topologische Struktur durch eine sogenannte Abstandsfunktion oder Metrik erzeugt wird. Eine Metrik ist dabei eine Abbildung

$\sigma: M \times M \rightarrow [0, \infty[$ , mit den folgenden Eigenschaften:

$\sigma (x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$ ,
$\sigma (x,y)=\sigma (y,x), \ \forall x,y \in M$ ,
$\sigma (x,y) \leq \sigma (x,y)+\sigma (y,z), \forall x,y,z \in M$ (Dreiecksungleichung).

Anschaulich gesprochen, gibt eine Metrik also den Abstand zweier Elemente an.

Handelt es sich bei der zu betrachtenden Menge um einen Vektorraum $V$ über dem reellen oder komplexen Zahlenkörper $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$ , so kann eine Metrik (und damit eine Topologie) mittels einer Norm erzeugt werden. Eine Norm ist eine Abbildung

$||.||: V \rightarrow [0,\infty[$ , mit

$||x||=0 \Leftrightarrow x=0$ ,
$||\alpha \cdot x||=|\alpha | \cdot ||x||, \ \forall x \in V, \alpha \in \mathbb{K}$ (dabei sei $| α |$ der Betrag von $α$ ),
$||x+y||\leq ||x||+||y||,\ \forall x,y \in V$ (Dreiecksungleichung).

(Die Definition gilt in analoger Weise für Moduln aller Art.)

Anschaulich kann die Norm eines Vektors als seine Länge interpretiert werden. Abschwächungen des Normbegriffes sind Halbnormen und Quasi-Normen, mittels derer sich ebenfalls topologische Strukturen (allerdings keine Metriken) definieren lassen.

Sesquilinearformen

sind in der linearen Algebra und Funktionalanalysis betrachtete Abbildungen, die eine topologische und insbesondere geometrische Struktur erzeugen können.

Ist $V$ ein Vektorraum über dem reellen oder komplexen Zahlenkörper $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$ , so ist eine Sesquilinearform eine Abildung

$s: V \times V \rightarrow \mathbb{K}$ , mit den Eigenschaften

$s(x_{1}+x_{2},y)=s(x_{1},y)+s(x_{2},y), \forall x,y \in V$ ,
$s(x,y_{1}+y_{2})=s(x,y_{1})+s(x,y_{2}), \forall x,y \in V$ ,
$s(x,\lambda y)=\lambda \cdot s(x,y), \forall x,y \in V, \lambda \in \mathbb{K}$ ,
$s(\lambda x,y)=\overline{\lambda} \cdot s(x,y), \forall x,y \in V, \lambda \in \mathbb{K}.$

Man sagt, $s$ ist linear in der zweiten und antilinear (oder auch semilinear) in der ersten Komponente. Diese Anordnung ist allerdings willkürlich und variiert von Autor zu Autor.

Erfüllt die quadratische Form $q (x): = s (x, x)$ von $s$ zusätzlich die Bedingung

$q(x)\geq 0, \forall x \in V$ , oder gar
$q(x)> 0, \forall x \in V, x \neq 0$ ,

so nennt man $s$ positiv semidefinit bzw. positiv definit.

Ist $V$ ein komplexer Vektorraum, so bezeichnet man $s$ in diesen Fällen schlicht als positiv, bzw. strikt positiv und es folgt, dass die Sesquilinearform hermitesch ist, d.h. es gilt

$s(x,y)=\overline{s(y,x)}.$

Ist $V$ ein reeller Vektorraum, so nennt man eine Sesquilinearform, die die entsprechende Bedingung

$s (x, y) = s (y, x)$ erfüllt, symmetrisch. Die Symmetrie einer Sesquilinearform folgt nicht aus ihrer Definitheit.

Eine positive (bzw. positiv semidefinite und symmetrische) Sesquilinearform bezeichnet man als Semiskalarprodukt, eine strikt positive (bzw. positiv definite und symmetrische) Sesquilinearform als Skalarprodukt. Im zweiten Fall schreibt man $\langle x,y \rangle = s(x,y)$ .

Jedes Skalarprodukt (bzw. Semiskalarprodukt) erzeugt mittels $(q(x))^{\frac{1}{2}}$ eine Norm (bzw. Halbnorm), also eine topologische Struktur.

Zusätzlich lässt sich mittels eines Skalarproduktes der Begriff der Orthogonalität definieren. Zwei Vektoren $x, y$ heißen orthogonal genau dann, wenn $\langle x,y \rangle =0$ gilt.

Spezielle Funktionen und Funktionstypen

affine Funktion

Polynomfunktion 5. Grades

komplexe Exponentialfunktion

Sinusfunktion

Kugelflächenfunktion

Gaußsche Glockenkurve

Es gibt unterschiedlichste Unterscheidungsmerkmale und somit auch viele Namen für einzelne Funktionstypen.

Analytische Funktionen

Algebraische Funktionen: Man nennt eine Funktion $w = w (z)$ algebraisch, wenn sie Lösung einer algebraischen Gleichung

$\sum_{j=0}^n\sum_{i=0}^m a_{ij}z^iw^j=0$

ist, wobei das Polynom

$\sum_{j=0}^n\sum_{i=0}^m a_{ij}X_1^i X_2^j\in \mathbb C[X_1,X_2]$

über $\mathbb C$ irreduzibel ist.^[1]Zu der Menge der algebraischen Funktionen gehören unter anderem alle Funktionen, die sich aus einer Verknüpfung der Grundrechenarten und Radizieren zusammensetzen. Es existieren aber auch algebraische Funktionen, die sich auf diese Weise nicht darstellen lassen (siehe Galoistheorie).

homogene lineare Funktion (auch: Proportionalität): allgemein beschrieben durch $f (x) = m x$ ; ist ein Homomorphismus bezüglich der Addition
allgemeine lineare Funktion (oder affine Funktion): allg. beschrieben durch $f (x) = m x + n$ ; siehe auch affine Abbildung
Quadratische Funktion: allg. beschrieben durch $f (x) = a x 2 + b x + c$ (s. Quadratische Gleichung)
Kubische Funktion
Potenzfunktion
Polynom-Funktion; auch ganzrationale Funktion: allg. beschrieben durch $f(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dotsb + a_1x + a_0$ oder
$f(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i$
Rationale Funktion; gebrochen-rationale Funktion: Quotient zweier Polynom-Funktionen, $f (x) = g (x) / h (x)$
Wurzelfunktion: besteht aus gebrochenrationalen Funktionen, verknüpft durch die Grundrechenarten und Wurzelausdrücke

Transzendente Funktionen: Eine mathematische Funktion nennt man transzendent, wenn sie nicht algebraisch ist. Hierzu zählen:
- Exponentialfunktion
- Logarithmus
- Kreis- und Hyperbelfunktionen
  - Trigonometrische Funktion: sin, cos, tan, cot, sec, csc
  - Hyperbelfunktion: sinh, cosh, tanh, coth, sech, csch
  - Arkusfunktion: arcsin, arccos, arctan, arccot, arcsec, arccsc
  - Area-Funktion: arsinh, arcosh, artanh, arcoth, arsech, arcosech
Spezielle Funktionen
sonstige Funktionen

Reelle Funktionen, die nicht analytisch sind

Weitere Funktionen

Verallgemeinerungen

Partielle Funktionen

Vom Begriff der Funktion wohl zu unterscheiden ist der Begriff der partiellen Funktion der theoretischen Informatik, in der Mathematik spricht man eher von „nicht überall definierten Funktionen“. Hier darf es Elemente der Quellmenge ( $x$ -Werte) geben, denen kein Wert der Zielmenge ( $y$ -Wert) zugeordnet ist. Hier ist dann die Nennung der Quellmenge in der obigen Tripelschreibweise tatsächlich notwendig. Allerdings darf es auch dort für einen $x$ -Wert nicht mehr als einen $y$ -Wert geben. Um partielle Funktionen von Funktionen zu unterscheiden, bezeichnet man letztere auch als totale oder überall definierte Funktionen.

Mathematisch werden partielle Funktionen typischerweise als Paare $(D,f\colon D'\to Z)$ aus einer Quellmenge $D$ und einer auf einer Teilmenge $D'\subseteq D$ definierten (totalen) Funktion $f$ realisiert.

Funktionen mit Werten in einer echten Klasse

Häufig liegen die Werte einer Funktion nicht in einer Zielmenge, sondern lediglich in einer echten Klasse, beispielsweise sind Mengenfolgen „Funktionen“ mit Definitionsbereich $\N$ und Werten in der Allklasse. Um die mengentheoretischen Probleme, die sich daraus ergeben, zu vermeiden, betrachtet man nur noch den Graph der entsprechenden Funktion, genauer: Ein funktionsartiger Graph ist eine Menge $G$ von Paaren $(x, y)$ , so dass keine zwei Paare im ersten Eintrag übereinstimmen:^[2]

$\forall x,y_1,y_2\colon (x,y_1),(x,y_2)\in G\Rightarrow y_1=y_2$

Definitions- und Wertemenge sind tatsächlich Mengen, aber es ist nicht nötig, sich von vornherein auf eine Zielmenge festzulegen.

Siehe auch

Frege: Funktion und Begriff (der Begriff als Funktion)
Funktionenplotter (zur graphischen Darstellung)
Funktionsschar
Funktion höherer Ordnung

Weblinks

Commons: Functions – Bilder, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

↑ J. Naas, H. L. Schmid: Mathematisches Wörterbuch. B. G. Teubner, Stuttgart 1979, ISBN 3-519-02400-4,
↑ N. Bourbaki, Elements de Mathematiques, Theorie des Ensembles, II

Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)“

Kategorien: Mathematische Funktion | Mengenlehre | Mathematischer Grundbegriff

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