Pareto-Optimierung

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In der Mathematik und im Operations Research bezeichnet man mit Pareto-Optimierung (nach Vilfredo Pareto) das Lösen eines Optimierungsproblems mit mehreren Zielen (ein multikriterielles Problem).

In der Volkswirtschaftslehre bezeichnet ein pareto-optimales Gleichgewicht eine Verteilung knapper Güter, in der kein Beteiligter besser gestellt werden kann, ohne einen anderen schlechter zu stellen. Ein Wechsel hin zu einer nach Maßgabe dieses Kriteriums „besseren“ Verteilung wird entsprechend als Pareto-Optimierung bezeichnet; die Elemente der Menge der maximal durch Pareto-Optimierung erreichbaren Zustände als Pareto-Optima.

Überblick mit technischem Schwerpunkt

Bei vielen Optimierungsaufgaben lassen sich mehrere, voneinander grundsätzlich unabhängige Zielsetzungen definieren, zum Beispiel bei Kraftmaschinen der Wirkungsgrad, die maximale Leistung und der Schadstoffausstoß. Es ist hier oft nicht möglich, alle Ziele gemeinsam zu optimieren, man kann sich zum Beispiel in der Situation befinden, dass man die maximale Leistung nur erhöhen kann (eine Verbesserung), wenn gleichzeitig der Wirkungsgrad sinkt (eine Verschlechterung).

Das übliche Vorgehen zur Behandlung solcher Aufgaben ist es, die interessierenden Ziele als Teilziele aufzufassen und sie mittels Gewichtungsfaktoren zu einer gemeinsamen Zielfunktion zusammenzufassen. Man erhält auf diese Weise ein einfaches Problem. Dies löst man mit einem der unter Operations Research genannten Verfahren und bestimmt eine optimale Lösung für die gemeinsame Zielfunktion.

Bei nicht ineinander umrechenbaren Zielgrößen, wie etwa im gegebenen Beispiel, sind die anzusetzenden Gewichtungsfaktoren willkürlich und in bestimmten Rahmen subjektiv. Hierdurch ergibt sich auch eine entsprechende Willkürlichkeit beim Auffinden der gesuchten "besten" Lösung des Optimierungsproblems. Eine sinnvolle Vorgehensweise ist in solchen Fällen die separate Optimierung für alle möglichen Kombinationen von Gewichtungsfaktoren. Dabei wird man in der Regel nicht eine einzelne beste Lösung finden, da die Zielkriterien meist miteinander in Konflikt stehen (wie oben die maximale Leistung und der Wirkungsgrad).

Da keine eindeutig beste Lösung definiert ist, bestimmt man eine Menge von Lösungen des Optimierungsproblems, bei der eine Verbesserung eines Zielfunktionswertes nur noch durch Verschlechterung eines anderen erreicht werden kann, also die Menge optimaler Kompromisse. Diese Lösungsmenge bezeichnet man als Pareto-Menge oder Pareto-Optimum des zugrunde liegenden Paretooptimierungsproblems, deren Elemente als pareto-optimal. Es ist zu beachten, dass die Pareto-Menge im Allgemeinen nicht vollständig durch die Variation von Gewichtungsfaktoren bestimmt werden kann.

Ist die Pareto-Menge des gegebenen Optimierungsproblems erst einmal gefunden, so können subjektive Einschätzungen über die Wichtigkeit der einzelnen Teilziele (verschiedene Gewichtungsfaktoren) angegeben werden. Die Paretomenge enthält dann für beliebige relative Teilzielgewichtungen jeweils mindestens eine Lösung, die bei dieser Gewichtung optimal ist.

Dimension und Visualisierung

Bei einem Optimierungsproblem mit n Zielen wird die Pareto-Menge eine (n-1)-dimensionale Hyper-Grenzfläche darstellen. (Bei einem linearen Optimierungsproblem ist diese Grenzfläche ein Ausschnitt einer Hyperebene.) Die Pareto-Menge eines zwei-kriteriellen Problems (z.B. Leistung vs. Wirkungsgrad einer Kraftmaschine) wird also eine streng monoton fallende, nicht notwendigerweise stetige Grenzlinie in einem Leistungs-Wirkungsgrad-Diagramm darstellen.

Spätestens bei vierdimensionalen Problemen hört jegliche direkte Visualisierungsmöglichkeit auf. Stattdessen muss der Lösungsraum durch Hilfsmittel wie etwa das Sterndiagramm interaktiv ertastet werden.

Beispiel

Angenommen, man betrachte in dem obigen Motorbewertungsproblem nur die Zielgrößen Schadstoffausstoß und Vibrationen (also zwei Größen, deren geringstmögliche Werte die besten sind). Im ersten Bild seien diese Kriterien als T1 und T2 benannt. Dann wird es immer wieder je zwei Motorkonzepte, z.B. L1 und L4, geben, bei denen die Schadstoffemission des einen, aber die Vibrationsstärke des anderen geringer ist. In einem solchen Fall verzichtet man auf eine letztlich gegenseitige, absolute Bewertung dieser beiden Varianten. Bei den Varianten L1 und L2 ist hingegen die Sache eindeutig: L1 ist in beiden Werten kleiner und somit besser. Man sagt dann, dass L2 von L1 dominiert wird.

Werden die verschiedenen, technisch realisierbaren Gestaltungsvorschläge in ein dementsprechendes Diagramm eingetragen, erkennt man (bei hinreichender Anzahl) eine Grenze, die anscheinend nicht überschritten werden kann, wie in der zweiten Abbildung dargestellt wird. Hier veranschaulichen die grau eingefärbten Bereiche Gebiete, die von "grenzwertigen" Gestaltungsvorschlägen (L1, L4) dominiert werden. Diese Grenze ist durch den jeweils erreichbaren technischen Stand des Machbaren bedingt und kann sich natürlich im Lauf der Zeit - etwa durch Verfügbarkeit neuer Materialien oder Fertigungsverfahren in unserem Motorenbeispiel - verschieben.

Bei mehr als zwei Zielkriterien wird die Sache ausgesprochen unübersichtlich, da die Dimensionalität der Pareto-Menge jeweils um 1 niedriger liegt als die des Problems: Hat man etwa 3 Zielkriterien, nimmt die Pareto-Menge die Form eines an einer Ecke gelupften Teppichs an, und ab 4 Zielkriterien ist keine sinnvolle Darstellung/Visualisierung mehr möglich.

Literatur

• Matthias Ehrgott: "Multicriteria Optimization". Lecture Notes in Economic and Mathematical Systems 491, Springer Verlag, 2000.