Träger (Mathematik)

Poll without page-refresh

Article on other languages:

In der Mathematik bezeichnet der Träger (manchmal auch Support) die „Nichtnullstellenmenge“ einer Funktion oder anderer Objekte.

Inhaltsverzeichnis

1 Analysis
2 Garbentheorie
- 2.1 Träger eines Schnittes
- 2.2 Träger einer Garbe
3 Literatur

Analysis

Träger einer Funktion

Der Träger von $f$ wird meist mit $\operatorname{supp}(f)$ bezeichnet.

Sei $A$ ein topologischer Raum und $f: A \to \mathbb{R}$ eine stetige Funktion. Der Träger von $f$ besteht dann aus der abgeschlossenen Hülle der "Nichtnullstellenmenge" von $f$ :

$\operatorname{supp}(f) := \overline{\{x\in A | f(x)\ne 0\}}$

Träger einer Distribution

Ist $f$ dagegen eine Distribution auf $U$ (offene Teilmenge von $\mathbb{R}^d$ ), dann definiert man als Träger von $f$ das Komplement der größten offenen Teilmenge, auf der $f$ verschwindet:

$\operatorname{supp}(f) := U\setminus \cup\left\{ \omega\subset U\ \mathrm{ offen } : f|_{\mathrm{C}_0^\infty(\omega)} = 0\right\}$

Falls $f = T g$ eine reguläre Distribution ist, stimmt diese Menge mit dem Träger von $g$ überein.

Beispiele

Ist $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ mit $f (x) = x$ , dann ist $\operatorname{supp}(f) = \mathbb{R}$ , denn die Nichtnullstellenmenge von $f$ ist $\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}$ , deren Abschluss ganz $\mathbb{R}$ ist. Dasselbe gilt für jede Polynom-Funktion außer der Nullfunktion.

Ist $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ mit $f (x) = 1$ , falls $\left| x \right| < 1$ , sonst $0$ , dann ist $\operatorname{supp}(f)$ die Menge $\left\{ x : \left| x \right| \leq 1 \right\}$ .

Ist $\chi_\mathbb{Q}$ die charakteristische Funktion von $\mathbb{Q}: \chi_\mathbb{Q}(x) = 1$ falls $x \in \mathbb{Q}$ und $\chi_\mathbb{Q}(x) = 0$ falls $x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ dann ist der Träger $\mathbb{R}$ , also der Abschluss von $\mathbb{Q}$ .

Sei $U$ eine offene Teilmenge des $\mathbb{R}^d$ . Die Menge aller stetigen Funktionen von $U$ nach $\mathbb{R}$ mit kompaktem Träger bildet einen Vektorraum, der mit $C 0 (U)$ bezeichnet wird.

Die Menge $C_0^\infty (U)$ aller glatten (unendlich oft stetig differenzierbaren) Funktionen mit kompaktem Träger in $U$ spielt als Menge der "Testfunktionen" eine große Rolle in der Theorie der Distributionen.

Die Delta-Distribution $δ(f): = f (0)$ hat den Träger $\left\{ 0 \right\}$ , denn mit $\omega := \mathbb{R}^d \setminus \left\{ 0 \right\}$ gilt: Ist $f$ aus $C_0^\infty ( \omega )$ , dann ist $δ(f) = 0$ .

Garbentheorie

Es sei $F$ eine Garbe abelscher Gruppen über einem topologischen Raum $X$ .

Träger eines Schnittes

Für eine offene Teilmenge $U\subseteq X$ und einen Schnitt $s\in\Gamma(U,F)$ heißt die Menge derjenigen Punkte $x\in X$ , für die das Bild von $s$ im Halm $F x$ ungleich null ist, der Träger von $s$ , meist mit $\mathrm{supp}\,s$ oder $| s |$ bezeichnet.